4 Fonctions logarithmes
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.. _définition-1:

4.1 Définition
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Comme les fonctions :math:`{\exp}_a : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` sont des
fonctions strictement monotones et continues de :math:`\mathbb{R}` dans
:math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}` pour tout
:math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`, le théorème de la
bijection (théorème 3.2.7) et les propositions
3.2.4et 3.2.5 nous assurent qu’il
existe une unique fonction réciproque définie sur
:math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}` à chacune de ces fonctions :

**Définition 4.1.1** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
La fonction *logarithme* de base :math:`a`, notée :math:`{\log}_{a}`,
est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base
:math:`a`.

**Remarque 4.1.2** Pour :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`, la fonction
exponentielle de base :math:`a` a comme domaine :math:`\mathbb{R}` et
comme image :math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}`. La fonction logarithme de base
:math:`a` a donc comme domaine :math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}` et comme
image :math:`\mathbb{R}`.

**Remarque 4.1.3** Pour :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`, par définition
de la fonction logarithme de base :math:`a` comme réciproque de la
fonction exponentielle de base :math:`a`, on a :

#. Pour tout :math:`x \in \mathbb{R}` :

   .. math:: {\log}_{a}(a^x) = x

#. Pour tout :math:`y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

   .. math:: a^{{\log}_{a}(y)}= y

Ces simples égalités, qui caractérisent les fonctions logarithmes, sont
très utiles lorsqu’on souhaite par exemple utiliser des fonctions
logarithmes pour résoudre des équations.

**Exemple 4.1.4** Intéressons-nous un instant à la fonction
:math:`{\log}_2 : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}` pour bien
comprendre ce que sont les fonctions logarithmes.

Que vaut par exemple :math:`{\log}_2 (1)` ? Puisque la fonction
:math:`{\log}_2` est la réciproque de la fonction :math:`{\exp}_2`, le
nombre :math:`{\log}_2 (1)` est le nombre réel
:math:`x \in \mathbb{R}` tel que :math:`{\exp}_2 (x) = 2^x = 1`. Nous
connaissons ce nombre, il s’agit de :math:`0` car :math:`2^0=1` ! En
conclusion : :math:`{\log}_2 (1)=0`. Autre exemple : que vaut par
exemple :math:`{\log}_2 (2)` ? Puisque la fonction :math:`{\log}_2`
est la réciproque de la fonction :math:`{\exp}_2`, le nombre
:math:`{\log}_2 (2)` est le nombre réel :math:`x \in \mathbb{R}` tel
que :math:`{\exp}_2 (x) = 2^x = 2`. Nous connaissons ce nombre, il
s’agit de :math:`1` car :math:`2^1=2` ! En conclusion :
:math:`{\log}_2 (2)=1`.

Un dernier exemple : que vaut par exemple :math:`{\log}_2 (8)` ?
Puisque la fonction :math:`{\log}_2` est la réciproque de la fonction
:math:`{\exp}_2`, le nombre :math:`{\log}_2 (8)` est le nombre réel
:math:`x \in \mathbb{R}` tel que :math:`{\exp}_2 (x) = 2^x = 8`. Nous
connaissons ce nombre, il s’agit de :math:`3` car :math:`2^3=8` ! En
conclusion : :math:`{\log}_2 (8)=3`.
Bref, le logarithme de base :math:`2` d’un nombre strictement positif
est l’unique nombre :math:`x \in \mathbb{R}` tel que
:math:`{\exp}_2 (x) = 2^x` est égal à ce nombre de départ.
Plus généralement, le logarithme de base :math:`a` (pour
:math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`) d’un nombre est
l’unique nombre :math:`x \in \mathbb{R}` tel que
:math:`{\exp}_a (x) = a^x` est égal à ce nombre de départ.

**Remarque 4.1.5** Pour :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`, puisque la
fonction :math:`{\log}_a` est définie comme la fonction réciproque de
la fonction :math:`{\exp}_a`, le graphe de la fonction
:math:`{\log}_a` est le symétrique du graphe de la fonction
:math:`{\exp}_a` par la droite d’équation cartésienne :math:`y=x`.
Par exemple, voici le graphe de la fonction :math:`{\log}_2` :

.. tikz::

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[very thick,blue] plot[domain=0.03125:5](\x,{log2(\x)});

| Autre exemple, voici le graphe de la fonction
  :math:`{\log}_{\frac{1}{2}}` :

.. tikz::

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
      \draw[very thick,blue] plot[domain=0.03125:5](\x,{-1*log2(\x)});


|  
| Au cas exceptionnel de l’exponentielle (naturelle, de base :math:`e`)
  correspond le cas exceptionnel du logarithme népérien :

**Définition 4.1.6.** La fonction *logarithme népérien*\  [1]_, notée :math:`\ln`, est la
fonction logarithme de base :math:`e`, autrement dit la fonction
:math:`{\log}_e : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}`.

Tout comme la fonction exponentielle (de base :math:`e`) est reine parmi
les fonctions exponentielles, le logarithme népérien est roi parmi les
fonctions logarithmes. Nous découvrirons ce que le logarithme népérien a
de si particulier dans la section 4.3.

**Remarque 4.1.7.** Certaines personnes notent simplement :math:`\log` pour la fonction
logarithme en base :math:`10`. D’autres personnes (moins nombreuses)
notent simplement :math:`\log` pour le logarithme en base :math:`2`.
Dans ce cours, nous n’utiliserons aucune de ces deux notations (et je
vous conseille de faire de même).

.. _propriétés-élémentaires-1:

4.2 Propriétés élémentaires
-----------------------

Nous avions listé les propriétés des fonctions exponentielles, faisons
de même pour les fonctions logarithmes.

**Proposition 4.2.1.** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
Le domaine de définition de la fonction :math:`{\log}_a` est
:math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}`.

*Démonstration* Par définition de la fonction :math:`{\log}_a` comme réciproque de la
fonction :math:`{\exp}_a`.

**Proposition 4.2.2.** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`.
Si :math:`a=1`, l’image de la fonction :math:`{\exp}_a` est
:math:`\{1\}`.
Si :math:`a \neq 1`, l’image de la fonction :math:`{\exp}_a` est
:math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}`.

*Démonstration* Par définition de la fonction :math:`{\log}_a` comme réciproque de la
fonction :math:`{\exp}_a`.

**Proposition 4.2.3.** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
Si :math:`a<1`, la fonction :math:`{\log}_a` est strictement
décroissante.
Si :math:`a<1`, la fonction :math:`{\log}_a` est strictement
croissante.

*Démonstration* Soient :math:`x,y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` avec :math:`x < y`. Puisque
:math:`x < y`, on sait que :math:`a^{{\log}_a (x)} < a^{{\log}_a (y)}`.
Deux possibilités :

#. Si :math:`a<1`, comme la fonction :math:`{exp}_a` est une bijection
   strictement décroissante, cela implique que
   :math:`{\log}_a (x) > {\log}_a (y)`. La fonction :math:`{\log}_a`
   est donc bien strictement décroissante.

#. Si :math:`a<1`, comme la fonction :math:`{exp}_a` est une bijection
   strictement croissante, cela implique que
   :math:`{\log}_a (x) < {\log}_a (y)`. La fonction :math:`{\log}_a` est
   donc bien strictement croissante.

**Proposition 4.2.4.** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
La fonction :math:`{\log}_a` est continue.

*Démonstration* Par le théorème 3.2.7, puisque la fonction
:math:`{\exp}_a` est une fonction strictement monotone continue définie
sur un intervalle, c’est une bijection et sa fonction réciproque,
c’est-à-dire la fonction :math:`{\log}_a`, est nécessairement continue.

La limite en un point :math:`c \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` d’une fonction
logarithme est donc toujours égale à son image en ce point. Par
ailleurs, on a :

**Proposition 4.2.5.** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
Si :math:`a<1`, on a
:math:`\lim\limits_{x \to 0} {\log}_a(x) = +\infty` et
:math:`\lim\limits_{x \to +\infty} {\log}_a(x) = -\infty`.
Si :math:`a>1`, on a
:math:`\lim\limits_{x \to 0} {\log}_a(x) = -\infty` et
:math:`\lim\limits_{x \to +\infty} {\log}_a(x) = +\infty`.

*Démonstration* Découle directement de la définition des fonctions logarithmes et de la
proposition 2.2.7.

Vient à présent un des résultats les plus importants au sujet des
fonctions logarithmes. Celui-ci est l’équivalent de la proposition
2.2.8 des fonctions exponentielles.

**Proposition 4.2.6.** Soient :math:`a,b \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.

#. Pour tout :math:`x,y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, on a :

   .. math:: {\log}_{a}(x.y) = {\log}_{a}(x)+{\log}_{a}(y)

#. Pour tout :math:`x,y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, on a :

   .. math:: {\log}_{a}\left(\frac{x}{y}\right) = {\log}_{a}(x)-{\log}_{a}(y)

#. Pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` et pour tout
   :math:`y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, on a :

   .. math:: {\log}_{a}(x^y) = y.{\log}_{a}(x)

*Démonstration*

#. Pour tout :math:`x,y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, comme la fonction
   logarithme en base :math:`a` est la réciproque de la fonction
   exponentielle de base :math:`a`, par la proposition
   2.2.8 :

   .. math:: {\log}_{a}(x.y) = {\log}_{a}(a^{{\log}_{a}(x)}.a^{{\log}_{a}(y)}) ={\log}_{a}(a^{{\log}_{a}(x)+{\log}_{a}(y)})={\log}_{a}(x)+{\log}_{a}(y)

#. Pour tout :math:`x,y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, comme la fonction
   logarithme en base :math:`a` est la réciproque de la fonction
   exponentielle de base :math:`a`, par la proposition
   2.2.8 :

   .. math:: {\log}_{a}\left(\frac{x}{y}\right) ={\log}_{a}\left(\frac{a^{{\log}_{a}(x)}}{a^{{\log}_{a}(y)}}\right) = {\log}_{a}(a^{{\log}_{a}(x)-{\log}_{a}(y)})={\log}_{a}(x)-{\log}_{a}(y)

#. Pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` et pour tout
   :math:`y \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`, , comme la fonction logarithme en
   base :math:`a` est la réciproque de la fonction exponentielle de base
   :math:`a`, par la proposition 2.2.8 :

   .. math:: {\log}_{a}(x^y)={\log}_{a}((a^{{\log}_{a}(x)})^y) = {\log}_{a}(a^{{\log}_{a}(x).y})=y.{\log}_{a}(x)

**Remarque 4.2.7.** De la même manière que la proposition 2.2.8
caractérisait les fonctions exponentielles, cette dernière proposition
caractérise les fonctions logarithmes, en particulier la première
formule. Les fonctions logarithmes sont des fonctions qui permettent de
transformer des produits en sommes (c’est d’ailleurs précisément la
raison pour laquelle ils ont été inventés à la base).

.. _dériloga:

4.3 Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes
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Les fonctions logarithmes sont continues, mais sont-elles dérivables ?
Commençons avec une seule d’entre elle : le logarithme népérien.

**Proposition 4.3.1.** La fonction :math:`\ln : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}` est
dérivable et sa dérivée est la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
   f : {\mathbb{R}}_{0}^{+}&\to \mathbb{R}\\
   x \mapsto& \frac{1}{x}\end{aligned}

*Démonstration *Par le théorème 3.2.7, comme la fonction
:math:`\ln : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}` est la réciproque de la
fonction exponentielle de base :math:`e` qui est dérivable et dont la
dérivée ne s’annule jamais, elle est dérivable. De plus, on sait qu’on a
pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

.. math:: e^{\ln(x)}=x

Si la fonction du membre de gauche de l’équation est égale à la fonction
du membre de droite de l’équation, alors la dérivée de la fonction du
membre de gauche de l’équation doit être égale est à la dérivée de la
fonction du membre de droite de l’équation. On doit avoir pour tout
:math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

.. math:: (e^{\ln(x)})'=(x)'

Comme la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, par la
formule de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables :

.. math:: e^{\ln(x)}.(\ln(x))'=1

Comme pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`,
:math:`e^{\ln(x)} > 0`, on a donc pour tout
:math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

.. math:: (\ln(x))'=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac{1}{x}

**Remarque 4.3.2.** Nous avons donc finalement trouvé une primitive de la fonction inverse
(sur :math:`{\mathbb{R}}_{0}^{+}`) ! Il s’agit de la fonction
:math:`\ln` ! Nous sommes donc à présent capables de trouver une
primitive pour chaque fonction de référence.

Pour étudier la dérivabilité des autres fonctions logarithmes, nous
aurons besoin de l’extrêmement utile résultat suivant :

**Proposition 4.3.3.** (Formule de changement de base pour les logarithmes) 

  Soit :math:`a,b \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.
  Alors pour tout :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` on a :

  .. math:: {\log}_a(x) = \frac{{\log}_b(x)}{{\log}_b(a)}

*Démonstration* Soit :math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}`. On a :

.. math:: {\log}_b(x) = {\log}_b(a^{{\log}_a(x)})={\log}_a(x).{\log}_b(a)

Comme :math:`b \neq 1`, :math:`{\log}_b(a)\neq 0` et donc :

.. math:: \frac{{\log}_b(x)}{{\log}_a(b)}={\log}_a(x)

**Remarque 4.3.4** La formule du changement de base permet par exemple de calculer un
logarithme dans une base choisie avec n’importe quel calculatrice
scientifique. En effet, si on souhaite par exemple calculer une
approximation de :math:`{\log}_3 (7)` mais que la calculatrice ne
propose pas la fonction :math:`{\log}_3`, il suffit de calculer
:math:`\frac{{\ln}(7)}{{\ln}(3)}`.



**Proposition 4.3.5** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.

  La fonction :math:`{\log}_{a} : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}`
  est dérivable et sa dérivée est la fonction :

  .. math::

     \begin{aligned}
     f : {\mathbb{R}}_{0}^{+}&\to \mathbb{R}\\
     x \mapsto& \frac{1}{\ln(a)}.\frac{1}{x}\end{aligned}

*Démonstration* Par la formule du changement de base, on a pour tout
:math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

.. math:: {\log}_a(x)=\frac{{\ln}(x)}{{\ln}(a)}

La fonction :math:`{\log}_{a} : {\mathbb{R}}_{0}^{+}\to \mathbb{R}` est
donc dérivable et par linéarité de la dérivée, on a pour tout
:math:`x \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}` :

.. math:: ({\log}_a(x))' =\left(\frac{{\ln}(x)}{{\ln}(a)}\right)' = \frac{1}{\ln(a)}(\ln(x))' = \frac{1}{\ln(a)}.\frac{1}{x}

Finalement, nous sommes capables de montrer que toutes les fonctions
exponentielles sont dérivables et de calculer leurs dérivées:

**Proposition 4.3.6** Soit :math:`a \in {\mathbb{R}}_{0}^{+}\backslash \{1\}`.

  La fonction :math:`{\exp}_{a} : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` est
  dérivable et sa dérivée est la fonction :

  .. math::

     \begin{aligned}
     f : {\mathbb{R}}_{0}^{+}&\to \mathbb{R}\\
     x \mapsto& \ln(a).a^x\end{aligned}

*Démonstration* Par le théorème 3.2.7, comme la fonction
:math:`{\exp}_{a} : \mathbb{R}\to \mathbb{R}` est la réciproque de la
fonction logarithme de base :math:`a` qui est dérivable et dont la
dérivée ne s’annule jamais, elle est dérivable. De plus, on sait qu’on a
pour tout :math:`x \in \mathbb{R}` :

.. math:: {\log}_{a}(a^{x})=x

Si la fonction du membre de gauche de l’équation est égale à la fonction
du membre de droite de l’équation, alors la dérivée de la fonction du
membre de gauche de l’équation doit être égale est à la dérivée de la
fonction du membre de droite de l’équation. On doit avoir pour tout
:math:`x \in \mathbb{R}` :

.. math:: ({\log}_{a}(a^{x}))'=(x)'

Par la formule de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables
:

.. math:: \frac{1}{\ln(a)}.\frac{1}{a^x}.(a^x)'=1

On a donc pour tout :math:`x \in \mathbb{R}` :

.. math:: (a^x)'=\ln(a).a^x

.. _exercices-2:

4.4 Exercices
---------

**Exercice 4.4.1.** En utilisant les propriétés élémentaires des fonctions logarithmes,
calculer les nombres suivants sans avoir recours à une calculatrice.

.. inginious:: foncLog1_1
.. inginious:: foncLog1_2
.. inginious:: foncLog1_3
.. inginious:: foncLog1_4

**Exercice 4.4.2.** En utilisant une calculatrice et la formule de changement de base pour
les logarithmes, trouver une approximation des nombres suivants à
:math:`0,001` près.

.. inginious:: foncLog2_1
.. inginious:: foncLog2_2
.. inginious:: foncLog2_3
.. inginious:: foncLog2_4

**Exercice 4.4.3** Donner les domaines de définition réels maximaux pour les fonctions dont
les expressions sont les suivantes :

.. inginious:: foncLog12_1
.. inginious:: foncLog12_2
.. inginious:: foncLog12_3


**Exercice 4.4.4.** 

.. inginious:: foncLog3


**Exercice 4.4.5.** Pour les fonctions suivantes, déterminer si elles convergent ou
divergent pour :math:`x \to 0` et :math:`x \to +\infty`.

.. inginious:: foncLog4_1
.. inginious:: foncLog4_2
.. inginious:: foncLog4_3
.. inginious:: foncLog4_4
.. inginious:: foncLog4_5
.. inginious:: foncLog4_6
.. inginious:: foncLog4_7
.. inginious:: foncLog4_8

**Exercice 4.4.6.** Calculer les dérivées des fonctions dérivables suivantes.

.. inginious:: foncLog5_1
.. inginious:: foncLog5_2
.. inginious:: foncLog5_3
.. inginious:: foncLog5_4
.. inginious:: foncLog5_5
.. inginious:: foncLog5_6
.. inginious:: foncLog5_7
.. inginious:: foncLog5_8

**Exercice 4.4.7.** 

.. inginious:: foncLog6

**Exercice 4.4.8. et Exercice 4.4.9.** 

.. inginious:: foncLog7

**Exercice 4.4.10.** 

.. inginious:: foncLog8

**Exercice 4.4.11.** 

.. inginious:: foncLog9

**Exercice 4.4.12.** Calculer les intégrales des fonctions intégrables suivantes.

.. inginious:: foncLog10_1
.. inginious:: foncLog10_2
.. inginious:: foncLog10_3
.. inginious:: foncLog10_4
.. inginious:: foncLog10_5
.. inginious:: foncLog10_6
.. inginious:: foncLog10_7
.. inginious:: foncLog10_8

**Exercice 4.4.13.** En utilisant les propriétés des fonctions exponentielles et
logarithmes, résoudre les équations suivantes dans :math:`\mathbb{R}`.

.. inginious:: foncLog11_1
.. inginious:: foncLog11_2
.. inginious:: foncLog11_3
.. inginious:: foncLog11_4
.. inginious:: foncLog11_5
.. inginious:: foncLog11_6
.. inginious:: foncLog11_7
.. inginious:: foncLog11_8

Exercices supplémentaires :
`https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_logarithme/Exercices/%C3%89quations\_comportant_des_exponentielles 
<https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_logarithme/Exercices/%C3%89quations_comportant_des_exponentielles>`__


**Remarque 4.4.14.** Il n’y a pas d’inéquation avec des fonctions logarithmes au programme du
cours de mathématiques de 4 heures par semaine. Néanmoins, il est
possible que vous ayez à résoudre une telle inéquation ultérieurement,
par exemple dans un cours de physique. Si vous souhaitez vous entraîner,
prenez les équations de l’exercice `[équaloga] <#équaloga>`__ et
remplacez les égalités par des inégalités.

**Défi 4.4.15.** Sans utiliser de calculatrice, déterminer si :math:`e^{\pi} < {\pi}^{e}`
ou :math:`e^{\pi} > {\pi}^{e}` ou :math:`e^{\pi} = {\pi}^{e}`.


.. [1]
   John Napier, ou Jean Neper en français, a vécu entre 1550 et 1617 et
   est considéré comme l’inventeur des logarithmes. Il a développé
   ceux-ci pour simplifier ses calculs d’astronomie.